律师委托做同卵双胎亲子鉴定时，可以提供血液样本、细胞核DNA样本和唾液样本，这几种样本都可以进行同卵双胎亲子鉴定。

血液样本可以从亲子之间抽取血液，这种血液样本可以提供的DNA材料可以得到更有参考性的证据。而且，血液中的DNA丰富，比其他样本来得更加可靠，因此，它是完成同卵双胎亲子鉴定的必要样本，也是做最大的贡献的样本。

细胞核DNA样本主要指细胞核中的DNA样本，因为细胞核DNA中含有分子生物学有用的信息，可以被当作是重要的生物学标志物，是做亲子鉴定用来鉴别亲子关系的重要途径。

唾液样本也可以进行同卵双胎亲子鉴定，因唾液中含有DNA，可以作为侧重问题的鉴别材料。唾液样本的取材容易，并且唾液中的DNA含量和血液中的DNA含量比例是近似的，因此也是个理想的样本。

总之，律师委托做同卵双胎亲子鉴定时，可以通过抽取血液样本、细胞核DNA样本和唾液样本去完成同卵双胎亲子鉴定。

律师委托做同卵双胎亲子鉴定，需要提供的样本主要包括：1、一份父母的基因检测。使用全外显子测序（WES）或全基因组测序（WGS）等技术，对双方双胞胎的材料进行比较，鉴定双胞胎的父亲和母亲的DNA，查看相互的血缘关系；2、一份同胞双胞胎的基因检测。通过测序技术，从父母的DNA中获取信息，进而检测双胞胎之间的血缘关系，以及是否存在不相同的位点，从而确定其为同胞双胞胎； 3、一份亲子关系鉴定报告。此报告由一位职业的基因鉴定员给出，其中需详尽展示被测及家系关系，以及双胞胎之间的关系及血缘关系，并评定其相对置信度。 同时，为了得出可靠的结论，还需要提供双方双胞胎的家族史，以及可能的其他合作方的信息，以帮助亲子鉴定者更好地识别双胞胎的亲子关系。