根据《中华人民共和国人口与计划生育法》、《中华人民共和国刑法》及《中华人民共和国继承法》等法律规定，只有以下情况才允许试管婴儿亲子鉴定，72小时加急办理：

一、双方婚配关系。

婚姻状况正常，双方有正确的婚姻关系，双方盖有有效的结婚证书，双方均有身份证。

二、婚外生育关系。

父母双方均无有效婚姻关系，证明双方育胎时间、告身份，以及一方父母的誓证表明的确的双方的母子关系，以及双方出示身份证明文件。

三、夫妻离婚、一方死亡、子女婚外生育情况下的关系。

其中，夫妻离婚关系要求双方出示的都为有效的离婚证；一方死亡关系需要经过死亡证书证实；子女孩婚外生育关系需要证明双方育胎时间 、告身份，一方父母的誓证表明其确定了母子关系，以及出示双方身份证明文件。

需要注意的是，为了确保亲子鉴定的正确性，试管婴儿亲子鉴定必须在法定的实验室进行；并且，72小时加急办理开展亲子鉴定有其规定的流程，具体以当地实验室和案例为准；同时，根据实验结果由法院签发有效的亲子鉴定书，书面结果对有关双方有着决定性的影响。

哪些情况才允许试管婴儿亲子鉴定，72小时内加急办理？

1、婴儿死亡的情况下，可以加急办理亲子鉴定，以确认婴儿的生前关系。

2、生育受限的情况下（如绝育患者、精液质量低或无精液者），在采取试管受精治疗方案时可以立即办理亲子鉴定。

3、遗传疾病等健康问题情况下，为了确认亲子关系、遗传问题，可以加急办理亲子鉴定。

4、难以解释的社会关系情况下，可以通过亲子鉴定，有效解决该问题，可以加急办理亲子鉴定。

此外，加急办理亲子鉴定在某些特殊情况下，如参加婚姻登记时的证明、复婚、交换子女等，在办理其他证明之前仍可申请加急办理亲子鉴定。

但是，不管是正常办理亲子鉴定还是加急办理，都非常规可以办理，因此，办理之前，必须把所有准备工作做好，否则会延误办理。